『Amazon Echo』招待リクエスト→招待メール→購入の流れ
公式サイトの『Amazon Echo』製品ページにてまずは「招待リクエスト」。その後はAmazonからの「招待メール」を待って、届いたらやっと購入することができます。
場合によっては「招待リクエスト」を1つに絞る必要がある

現在、『Amazon Echo Dot』『Amazon Echo』『Amazon Echo Plus』3種の『Amazon Echo』が販売されていますが、全て招待制です。『Amazon Echo』それぞれのページにて自ら「招待リクエスト」をします。
「招待リクエスト」は、3種の『Amazon Echo』別々に行うことができますが、「招待メール」には「複数のEcho製品をリクエストされた場合、現在はお一つのみ招待させていただいております。」と記載あるので、どうしてもこれがいいという希望がある方は、1つだけに「招待リクエスト」しましょう。
3つ全てに「招待リクエスト」すると、どのEcho製品で招待されるかわかりません。『Amazon Echo Dot』『Amazon Echo』『Amazon Echo Plus』どれでも構わないという方だけ、3つ全てに「招待リクエスト」できます。その方が3倍、招待される可能性が上がるかもしれません。
『Amazon Echo』の「招待メール」が約1月で届いた

大分待った気がします。「招待リクエスト」をして、諦めた頃に「招待メール」が届きました。諦めていた理由は、「招待リクエスト」から1週間くらいで「招待メール」が届いているとのブログを書いている方がいらしゃったためです。
私の場合、「招待リクエスト」から約1月で「招待メール」が届いています。
『Amazon Echo』注文後のAmazon公式サイトの表示変化

「招待メール」が届いたので、早速『Amazon Echo』を注文。招待リクエスト→招待メール→購入後の表示(赤枠部分)は、上の画像のように変化しました。購入後も、一応はリクエストできるようです。